Lainbo's Blog 秘书问题的背景
秘书问题是最优停止理论的经典例子。假设你是一位老板，正在为一份工作面试100名申请人。在整个面试过程中，你只能在面试结束后决定是否录用这位申请人。一旦决定录用，面试过程就终止，之后的申请人将无法参加面试。你的目标是尽可能地选中最优秀的申请人。那么，在面试过程中如何找到最优解呢？
摸清情况再行动准则
在面临多个选择时，最优停止理论建议采用“摸清情况再行动准则”（look-then-leap rule），分为两个阶段：观察期和行动期。
- 观察期：在这段时间里，不要接受任何人的申请。收集数据，了解各个申请人的表现。
- 行动期：观察期结束后，一旦发现比之前所有申请人都更优秀的人选，就要毫不犹豫地选择他/她。
利用这个准则我们可以总结出一个秘书问题的表格
| 申请人总数 | 划入观察期人数 | 选中最优秀人选的概率 |
| 3 | 1（33.33%） | 50% |
| 4 | 1（25%） | 45.83% |
| 5 | 2（40%） | 43.33% |
| 6 | 2（33.33%） | 42.78% |
| 7 | 2（28.57%） | 41.43% |
| 8 | 3（37.5%） | 40.98% |
| 9 | 3（33.33%） | 40.59% |
| 10 | 3（30%） | 39.87% |
| 20 | 7（35%） | 37.97% |
| 30 | 11（36.67%） | 37.57% |
| 50 | 18（36%） | 37.23% |
| 100 | 37（37%） | 37.10% |
| 500 | 185（37%） | 36.79% |
| 1000 | 368（36.8%） | 36.77% |
| 10000 | 3679（36.79%） | 36.77% |
是自然对数函数的底数，约等于2.71828
划入观察期人数
选中最优秀人选的概率
揭秘37%法则
数学家们发现，将观察期和行动期的分界线设定在申请人总数的37%处是最佳选择。也就是说，在前37%的申请人中，我们不接受任何人的申请；然后，只要遇到比之前所有人选都优秀的申请人，就毫不犹豫地选择他。根据这个策略，我们成功选中最优秀申请人的概率为37%。
数学对称性的美妙
令人惊讶的是，这个策略与我们实际选中最优秀申请人的概率相等，这种现象反映了一种奇妙的数学对称性。值得注意的是，这个概率不会随着申请人数量的增加而降低。无论申请人总数是100还是100万，我们成功选中最优秀申请人的概率都是37%。这说明，最优停止理论在面对更多选择时，最优停止理论反而变得更有价值。
接受现实：63%的失败率
然而，最优停止理论并非万能。即使采用最理想的策略，我们依然有63%的失败率。这意味着，在大多数情况下，我们都无法选中所有申请人中最优秀的那个。这对于将爱情视为寻找“真命天子”的人来说，确实是一个坏消息。但从另一个角度看，这个现实也教会我们在面对不完美的选择时，如何调整心态和期望。
应用最优停止理论的启示
- 理性决策：当面临重要的选择时，我们应该首先观察和收集信息，了解大局后再作出决策。这有助于我们做出更明智的选择。
- 把握时机：在观察期结束后，我们应该敢于抓住机会。当发现一个比观察期中最优秀申请人还要优秀的人选时，不要犹豫，果断采取行动。
- 适时调整期望：理解最优停止理论的局限性，认识到即使采用最佳策略，也可能无法选中最优秀的申请人。在面临现实的不完美选择时，学会调整期望，接受现实。
结论
总的来说，最优停止理论和秘书问题中的37%法则为我们在面临诸多选择时提供了一个有趣且实用的决策框架。通过理解这个理论，我们可以更好地评估各种选择，做出更明智的决策。同时，我们也应认识到这个理论的局限性，并学会在面对现实的不完美选择时调整自己的期望。虽然最优停止理论并非万能，但它无疑是我们在人生道路上寻找最佳选择的一个重要工具。